撰文 | 乌其多易信盈
审校 | Cloud
2006年，有人在网上分享了一个位于英国多塞特郡多切斯特郊外， B3159 公路旁非常让人困惑的路牌，该标志为红色背景的矩形，上面写着：“标志未使用”。
（图片来源：indiatimes）
随后，越来越多的人发现这个路牌在英国随处可见，甚至还在网上售卖。
（图片来源：indiatimes）
所以，这个路牌到底奇怪在哪？
再读一遍牌子上的字：“标志未使用”。你可能就发现了问题所在：
标示说自己未使用，但实际上却杵在路边兢兢业业履行提示职责——那么，它到底是在使用、还是不在使用中呢？于是，悖论出现了。
该悖论的浅层原因解释如下：
当我们把眼光移向另外一个牌子：“Crossing not in use”（通道未在使用中），我们会觉得非常明了，完全不会引起歧义，因为路牌这个“符号”明确指向了一个未在这句话里存在过的“通道”。
而“Sign not in use”的问题在于，符号试图对自身状态进行描述，这就违背了符号学要义：符号之所以被需要，恰恰是因为它的解释意义尚未在场，也就是说，符号是不能描述自己的，否则会引发逻辑困境，专业的说法叫做“自我指涉”。
一幅表现自我指涉的著名画作《手画手》，埃舍尔作
“自我指涉”问题在符号学、语言学中乃至我们日常认知中存在非常广泛，比如你可能听说过“理发师悖论”和“说谎者悖论”：
说谎者悖论——我现在说的这句话是谎话。
若假设其为真，则可推出其为假；若假设其为假，则可推出其为真。由此构成一个无法成立的矛盾循环。
理发师悖论——一位理发师说自己只给村子所有不能自己理发的人理发易信盈，那么，他能不能给自己理发呢？
如果他给自己理发，那么按照他的声明，他就不应该给自己理发；如果他不给自己理发，那么他就属于“不给自己理发的人”，按照声明，他又应该给自己理发。无论怎样都会导致矛盾。
（图片来源：Rynoir）
无论是在哲学、语言学或者日常生活里，自我指涉导致的一些悖论，对我们基本产生不了太严重的影响。对于这些悖论的深挖结果最终就是规避或者纠错，比如说上面那个“Sign not in use”路牌，经过网友深挖，最终确认这其实是个因为叙意模糊引起的错误，它原本应该代表着“前方路牌未在使用中”的意思。
但问题是，当自我指涉悖论出现在数学中时，情况就完全不一样了，它甚至撼动了整个数学大厦，永远改变了人们对数学的认识。
另一幅表现自我指涉的画作《上升与下降》，埃舍尔作
对数学大厦的精准爆破
在19世纪末20世纪初，数学家们正致力于一个宏伟的目标：为整个数学建立一个绝对严格、无矛盾的基础。这个基础就是集合论。
为啥是集合论？因为数学中的每个概念（比如整数或者圆）都是用简单的概念来定义的。在某种程度上，这个过程必然会“触底”，我们会得到数学中最基本的一个概念，它是其他概念之源，这个概念就是集合。
集合论被广泛认为是现代数学的基础（图片来源：discover.hubpages）
当时的主流思想（以德国数学家大卫·希尔伯特为代表）认为，我们可以从几条简单明确的集合论公理出发，像搭积木一样，通过纯粹的逻辑推理，构建出全部数学。
如果这个计划成功，数学将成为一门绝对真理的学科，其中所有命题要么为真，要么为假，不存在矛盾。
就在这个梦想即将实现的时候，伯特兰·罗素在1901年针对集合论提出了一个非常简单却致命的悖论，也就是“罗素悖论”。
英国逻辑学家、数学家罗素（图片来源：medium）
罗素悖论的描述是：
“由所有不包含自身的集合所组成的集合，这个集合是否包含自身呢？”
如果它属于自身，按照定义易信盈，它就不应该属于自身，因为它的元素是那些不属于自身的集合；可要是它不属于自身，那又符合它的元素条件，似乎又应该属于自身了。
可能你也看出来了，罗素悖论和前文的理发师悖论核心结构是一模一样的。
罗素悖论（图片来源：Rynoir）
这个看似抽象的悖论揭示了作为数学根基的集合论内部存在着根本性的逻辑矛盾。它像一颗精准的炸弹，炸毁了数学家们正在建造的“数学大厦”的地基，使当时很多数学家“陷入了绝境”。
永远改变数学界
自古希腊以来，数学家一直相信一个基本原则：如果一个数学命题为真，那么它应当能够从公理出发通过逻辑推理得到证明。
然而，罗素悖论的提出迫使数学界重新审视并修正数学的基础——包括定义、公理与推理方法本身。尽管提出了多种解决方案（例如罗素本人的类型论），但这些方法大多试图规避而非根本消除悖论。
直至1931年，哥德尔不完备定理的提出永远改变了数学的基础图景。这一里程碑式的成果，为自我指涉悖论所带来的基础危机划上了一个决定性的、却也略带遗憾的句点。
奥地利裔美国数学家、逻辑学家哥德尔证明了两个定理：
第一不完备定理：如果一个形式系统是一致的（即不存在矛盾），那么它必然是不完备的——也就是说，系统中存在一些为真的命题，但它们既不能被证明，也不能被证伪。
第二不完备定理：这样的系统无法在自身内部证明其一致性。
（图片来源：网络）
这意味着，在足够复杂的数学系统中，总存在一些我们能够理解其为真，但却无法用系统内的规则来证明的命题。即便一次次地对数学大厦进行修补与重建，这种本质上的不确定性仍会以不同的形式再度出现。
悖论无处不在
除了数学外，自我指涉在计算机科学领域也是一个不可逾越的根本性问题——大名鼎鼎的“图灵停机”也正是另外一个“说谎者悖论”。
甚至有人反复论证，这种奇怪的循环就是理解意识如何从无生命的物质中产生的关键。
比如说美国文理科学院院士、著名认知科学家侯世达就认为：自我指涉也是人类意识的本质来源，认为大脑中“浮现”出来的现象，例如想法、希望、意识和自由意志都根源于这种自指怪圈，是不同层次之间的一种自我强化的“共鸣”。
参考资料
[1]https://www.indiatimes.com/trending/wtf/sign-not-in-use-meaning-607332.html
[2]https://www.ladbible.com/news/road-sign-not-in-use-what-does-it-mean-421949-20230626
[3]https://www.phd.tuebingen.mpg.de/77594/ping-hsueh
[4]https://blog.csdn.net/nameofcsdn/article/details/52674487
[5]侯世达（美）,《哥德尔、埃舍尔、巴赫——集异壁之大成》
[6]陈波,《逻辑学是什么》,北京大学出版社
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